a storia dei numeri reali ha inizio con la progressiva scoperta e accettazione di diversi tipi di numeri nel corso dei secoli. Ecco una breve cronologia dell’evoluzione che ha portato alla definizione dei numeri reali:
- Numeri Naturali: Questi sono i primi numeri conosciuti dall’umanità e rappresentano quantità intere positive. Ad esempio, 1, 2, 3, e così via. Sono stati utilizzati nelle prime civiltà per contare oggetti e rappresentare quantità discrete.
- Numeri Interi: Con l’introduzione delle operazioni di sottrazione, emerse la necessità di rappresentare numeri negativi, portando all’insieme dei numeri interi, che include sia numeri positivi sia negativi.
- Numeri Razionali: Con l’avvento della divisione, emerse la necessità di rappresentare numeri come frazioni o rapporti di interi. Questi numeri sono chiamati numeri razionali.
- Numeri Irrazionali: La scoperta che alcune quantità, come la diagonale di un quadrato con lato di lunghezza 1, non potevano essere espressi come rapporti esatti di interi ha portato alla realizzazione dell’esistenza di numeri irrazionali. Questi numeri non possono essere espressi come frazioni. La radice quadrata di 2 è uno degli esempi più famosi di un numero irrazionale, e la sua scoperta da parte dei pitagorici nella Grecia antica fu un momento cruciale nella storia dei numeri reali.
La realizzazione che c’erano numeri (come la radice quadrata di 2) che non potevano essere rappresentati come rapporti di interi ha portato alla necessità di un sistema numerico più ampio e completo. Questo sistema, che includeva sia numeri razionali sia irrazionali, divenne noto come l’insieme dei numeri reali.
La formalizzazione rigorosa dell’insieme dei numeri reali, tuttavia, avvenne molto più tardi, nel 19° secolo, con lo sviluppo della teoria degli insiemi e l’analisi matematica da parte di matematici come Richard Dedekind e Karl Weierstrass.
- Sezioni di Dedekind:
- Proposte da Richard Dedekind nel 1872, le “sezioni” (o “tagli”) di Dedekind sono un modo per definire i numeri reali in termini di numeri razionali.
- Un “taglio” di Dedekind è una divisione dei numeri razionali in due insiemi non vuoti A e B, in modo che ogni elemento di A sia minore di ogni elemento di B e A non abbia un massimo elemento.
- Ogni taglio rappresenta un numero reale unico. I numeri razionali sono quei tagli per cui A ha un massimo elemento, mentre i numeri irrazionali sono quelli per cui A non ha un massimo.
- Questo approccio ha il vantaggio di essere molto intuitivo, specialmente quando si considera la geometria della retta reale.
- Successioni di Cauchy:
- Questo approccio si basa sull’idea di definire un numero reale come il limite di una successione di numeri razionali. Una successione di numeri razionali è detta “di Cauchy” se, per ogni piccolo numero positivo ε, esiste un punto nella successione oltre il quale la differenza tra qualsiasi due termini successivi è minore di ε.
- Karl Weierstrass e altri hanno sviluppato questo approccio, che diventa particolarmente utile in analisi matematica.
- Un numero reale, in questo contesto, è definito come una classe di equivalenza di successioni di Cauchy di numeri razionali. Due successioni sono considerate equivalenti se la loro differenza tende a zero.
Entrambi gli approcci, sebbene diversi, sono validi e conducono alla stessa struttura dei numeri reali. La scelta di quale approccio utilizzare dipende spesso dal contesto e dalle preferenze del matematico o del corso di studio.
La formalizzazione rigorosa dei numeri reali ha fornito le fondamenta per lo sviluppo successivo dell’analisi matematica e ha assicurato che i teoremi e le proprietà derivati da questa teoria fossero solidi e privi di ambiguità o contraddizioni.
In questo video tutorial, vengono spiegati i numeri reali in breve